On different types of uniform convergence of functional series
DOI:
https://doi.org/10.20535/mmtu-2018.1-101Keywords:
Functional series, Uniform convergence, Normal convergence, History of mathematicsAbstract
A chronology of the introduction of various types of uniform convergence of functional series and properties of uniformly convergent series in mathematical analysis is presented. Relationships between different types of uniform convergence are indicated. Almost every source is referred to a hyperlink to its digitized version, which makes it possible to further investigate the history of functional series.References
Abel, N. H. (1826). Untersuchungen uber die Reihe ... u.s.w. Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 1(4), 311–339. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0001
Arzelà, C. (1884a). Intorno alla continuità delle somma di infiniti funzioni continue. Rendiconto della R. Accademia delle scienze dell’Istituto di Bologna, 19, 79–84.
Arzelà, C. (1884b). Sulla integrazione per serie. Atti della Reale Accademia dei Lincei: Rendiconti, Serie 4, 1, 532–537, 566–569. https://www.biodiversitylibrary.org/page/44575233
Arzelà, C. (1899). Sulle serie di funzioni. Memorie della R. Accademia delle scienze dell’Istituto di Bologna: Serie 5, 8, 130–186, 701–744. https://www.biodiversitylibrary.org/item/120567
Baire, R. (1908). Lecons sur les theories generales de l’analyse. (t. 2). Paris: Gauthier-Villars. https://archive.org/details/leonssurlesth02bairuoft
Bendixon, I. (1897). Sur la convergence uniforme des séries. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-akademiens forhandlingar, 54, 605–622. https://www.biodiversitylibrary.org/item/100535
Björling, E. G. (1853). Om oändliga serier, hvilkas termer äro continuerliga functioner af en reel variabel mellan ett par gränser, mellan hvilka serierna äro convergerande, öfvers. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-akademiens forhandlingar, 10, 147–160. https://biodiversitylibrary.org/page/15957832
Björling, E. G. (1897). Doctrinae serierum infinitarum exercitationes. Nova acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis, 13, 61–87, 143–187. https://www.biodiversitylibrary.org/item/100535
Bolzano, B. (1817). Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegensetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reeleWurzel der Gleichung liege. Prague: Gottliebe Haase. http://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb10137646-7
Borel, E. (1905). Leçons sur les fonctions variables rèelles et les dèveloppements en séries de polynomes. Paris: Gauthier-Villars. http://hdl.handle.net/10481/31387
Cantor, G. (1870). Beweis, dass eine für jeden reellen Werth von $x$ durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function $f(x)$ sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 72, 139–142. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0072
Cantor, G. (1871). Über trigonometrische Reihen. Mathematische Annalen, 4, 139–143. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0004
Cauchy, A.-L. (1821). Cours d’analyse de l’École royale polytechnique 1re partie: Analyse algébrique. Paris: l’Imprimerie Royale. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626657t
Cauchy, A.-L. (1823). Résumé des leçons données à l’école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal (Vol. 1). Paris: l’Imprimerie Royale. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62404287
Cauchy, A.-L. (1853). Note sur les séries convergentes dont les divers termes sont des fonctions continues d’une variable réelle ou imaginaire, entre des limites données. Comptes rendus de L’Académie des Sciences, 36, 454–459. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2993z/f458.item.r=Cauchy
Dini, U. (1878). Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali. Pisa: Tipografi a T. Nistri e C. http://resolver.library.cornell.edu/math/1924876
du Bois-Reymond, P. (1871). Notiz über einen Cauchy’schen Satz, die Stetigkeit von Summen unendlicher Reihen betreff end. Mathematische Annalen, 4(1), 135–137. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0004
du Bois-Reymond, P. (1874). Beweis, dass die Koefficienten der trigonometrischen Reihe… haben, jedesmal wenn diese integrale endlich und bestimmt sind. Abhandlungen der Mathematisch-Physikalischen Klasse der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 12, 117–166. https://www.biodiversitylibrary.org/item/110172
du Bois-Reymond, P. (1887). Ueber den Convergenzgrad der variablen Reihen und den Stetigkeitsgrad der Functionen zweier Argumente. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 100, 331–358. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0100
Fikhtengolz, G. M. (2009). A course of differential and integral calculus [in Russian](Vol. 2). Moscow: Fizmatlit.
Fourier, J. B. (1822). Théorie analytique de la chaleur. Paris: Chez Firmin Didot, père et fils. https://archive.org/details/thorieanalytiq00four
Grattan-Guinness, I. (1970). The development of the foundation of mathematical analysis from Euler to Riemann. Cambridge, Mass.: MIT Press.
Gudermann, C. (1838). Theorie der modular-functionen und der modular-integrale. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 18, 1–54, 142–175, 220–258, 303–364. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0018
Hardy, G. H. (1918). Sir George Stokes and the concept of uniform convergence. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and physical sciences, 19, 148–156. https://www.biodiversitylibrary.org/item/95836
Heine, E. (1869). Ueber trigonometrische Reihen. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 71, 353–365. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0071
Hobson, E. W. (1904). On modes of convergence of an infinite series of functions of a real variable. Proceedings of the London Mathematical Society: Ser. 2, 1, 373–387. https://doi.org/10.1112/plms/s2-1.1.373
Medvedev, F. A. (1991). Scenes from the history of real functions. Basel: Birkhauser Verlag.
Osgood, W. F. (1897). Non-uniform convergence and the integration of series term by term. American Journal of Mathematics, 19, 155–190. https://doi.org/10.2307/2369589
Pincherle, S. (1882). Sopra alcuni sviluppi in serie per funzioni analitiche. Memorie della R. Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna, Ser. 4, 3, 149–180.
Pringsheim, A. (1894). Ueber die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen des Taylor’schen Lehrsatzes fur Functionen einer reellen Variablen. Mathematische Annalen, 44, 57–82. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0044
Pringsheim, A. (1899). Grundlagen der allgemeinen Funktionenlehre. In Enzyklopaedie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Analysis, 2-1-1. Leipzig: B. G. Teubner Verlag. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN36050616X
Riesz, F. (1908). Uber die Approximation einer Funktion durch Polynome. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 17, 196–211. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002121506
Riesz, F. (1920). Sur l’integrale de Lebesgue. Acta mathematica, 20, 191–205. https://doi.org/10.1007/BF02404407
Rosenthal, A. (1924). Neuere Untersuchungen uber Funktionen reeller Veranderlichen in Enzyklopaedie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. In H. Burkhardt, W. Wirtinger, & E. H. R. Fricke (Eds.), Enzyklopadie der mathematischen wissenschaften mit einschluss ihrer anwendungen. Bd. 2. Analysis (pp. 851–1187). Leipzig: B. G. Teubner Verlag. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN360506542
Seidel, P. L. (1847). Note uber eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Funktionen darstellen. Abhandlungen der bayerischen Akademie der Wissenschaften, 5, 381–394. https://www.biodiversitylibrary.org/item/42316
Stokes, G. G. (1847). On the critical values of the sums of periodic series. Transaction of the Cambridge Philosophical Society, 8, 533–583. https://www.biodiversitylibrary.org/item/49441
Stolz, O. (1875). Bemerkungen zur Integral-Rechnung. Bericht des naturwissenshaftlichten und medizinischen Vereins in Insbruck, 5, 24–43. https://www.zobodat.at/pdf/BERI_5_0024-0043.pdf
Thomae, J. (1875). Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale. Louis Nebert. https://hdl.handle.net/2027/hvd.32044091890988
Thomé, L. W. (1866). Ueber die Kettenbruchentwickelung der Gausschen Function $f(a,1,y,x).$ Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 66, 322–336. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0066
Viertel, K. (2014). Geschichte der gleichmaßigen Konvergenz: Ursprunge und Entwicklungen des Begriffs in der Analysis des 19. Jahrhunderts. Wiesbaden: Springer Spektrum. https://doi.org/10.1007/978-3-658-05939-2
Weierstrass, K. (1880). Zur Functionenlehre. Monatsberichte der Koniglichen Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1980, 719–743. https://www.biodiversitylibrary.org/item/111870
Weierstrass, K. (1894a). Defi nition analytischer Functionen einer Veranderlichen vermittelst algebraischer Diff erentialgleichungen. In Mathematische Werke (Vol. 1, pp. 75–84). Berlin: Mayer & Muller. https://archive.org/details/mathematischewer01weieuoft/page/74
Weierstrass, K. (1894b). Zur Theorie der Potenzreihen. In Mathematische Werke (Bd. 1) (Vol. 1, pp. 67–74). Berlin: Mayer & Muller. https://archive.org/details/mathematischewer01weieuoft/page/66
Young, W. H. (1904). On non-uniform convergence and term-by-term integration of series. Proceedings of the London Mathematical Society, s2-1(1), 89–102. https://doi.org/10.1112/plms/s2-1.1.89
Young, W. H. (1908). On uniform and non-uniform convergence and divergence of a series of continuous functions and the distinction of right and left. Proceedings of the London Mathematical Society, s2-6(1), 29–51. https://doi.org/10.1112/plms/s2-6.1.29
Downloads
Issue
Section
License
Copyright (c) 2018 Mathematics in Modern Technical University
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
